Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 4 см. Чому дорівнює гіпотенуза?

Вступ

Прямокутний трикутник є одним з основних понять у геометрії. Він має багато застосувань у різних сферах, таких як архітектура, інженерія та навіть повсякденне життя. Однією з ключових властивостей прямокутного трикутника є те, що він містить один кут, який дорівнює 90 градусів. Цей кут утворює дві сторони, відомі як катети, а протилежна сторона — гіпотенуза. У цій статті ми розглянемо, як визначити довжину гіпотенузи трикутника, якщо відомі довжини катетів.

Перелік відомих понять

1. Прямокутний трикутник — трикутник, у якого один з кутів дорівнює 90 градусів.
2. Катет — одна зі сторін прямокутного трикутника, що утворює прямий кут.
3. Гіпотенуза — довша сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту.
4. Теорема Піфагора — стверджує, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: (c^2 = a^2 + b^2), де (c) — гіпотенуза, (a) і (b) — катети.

Визначення сторін трикутника

У нашому випадку ми маємо прямокутний трикутник, де довжини катетів дорівнюють:

• Катет (a = 3 \, \text{см})
• Катет (b = 4 \, \text{см})

Теорема Піфагора

Для розрахунку гіпотенузи ми скористаємося теоремою Піфагора. За цією теоремою, ми можемо обчислити гіпотенузу (c), скориставшись наведеними формулами:

[
c^2 = a^2 + b^2
]

Підставимо значення

Значення катетів підставимо в рівняння:

[
c^2 = 3^2 + 4^2
]

Розрахунок квадратів

Використуємо значення для обчислень:

[
c^2 = 9 + 16
]

[
c^2 = 25
]

Визначення гіпотенузи

Тепер, щоб знайти значення гіпотенузи (c), необхідно взяти квадратний корінь з отриманого числа:

[
c = \sqrt{25} = 5 \, \text{см}
]

Отже, довжина гіпотенузи в нашому трикутнику дорівнює 5 см.

Застосування теореми Піфагора

Приклади застосування

Теорема Піфагора має численні практичні застосування, наприклад:

• Архітектура: при розрахунках кутів і довжин стін.
• Геодезія: для вимірювання відстаней між точками.
• Космічні науки: при розрахунках траєкторій космічних апаратів.

Інші приклади

Проведемо кілька аналогічних розрахунків, щоб ще раз переконатися в коректності теореми Піфагора.

1. Трикутник з катетами 5 см і 12 см:

   • (c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169)
   • (c = \sqrt{169} = 13 \, \text{см})

2. Трикутник з катетами 6 см і 8 см:
   • (c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100)
   • (c = \sqrt{100} = 10 \, \text{см})

Графічне зображення трикутника

Щоб краще зрозуміти принципи роботи із прямокутними трикутниками, розгляньмо графічне зображення нашого прикладу.
Трикутник з катетами 3 см та 4 см може виглядати так:

         |\

         | \

         |  \

       4 |   \ 5

         |    \

         |     \

         |______\

            3

Тут сторони ліворуч і праворуч від прямого кута є катетами, а гіпотенуза знаходиться навпроти нього.

Порівняння з іншими трикутниками

Існує безліч варіантів прямокутних трикутників з різними значеннями катетів. Порівняємо наш трикутник з деякими іншими.

• Трикутник з катетами 1 см і 1 см:

  • Гіпотенуза (c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.41 \, \text{см})

• Трикутник з катетами 5 см і 5 см:
  • Гіпотенуза (c = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7.07 \, \text{см})

Корисні факти про прямокутні трикутники

1. Відношення сторін: У прямокутному трикутнику з частими значеннями катетів, такими як 3:4:5, вірні співвідношення дають можливість швидшого розрахунку гіпотенузи.

2. Піфагорова трійка: Пари чисел (3, 4, 5) або (5, 12, 13) формують так звані піфагорові трійки, які є прикладами цілих чисел, що задовольняють теоремі Піфагора.

3. Симетрія: Прямокутні трикутники можуть мати однакові катети, що приводить до рівнобедреного прямокутного трикутника.

4. Опуклість: Прямокутні трикутники завжди є опуклими, оскільки жоден з їх кутів не перевищує 90 градусів.

Висновок

Так, довжина гіпотенузи прямокутного трикутника, в якого катети дорівнюють 3 см і 4 см, складає 5 см. Розуміння властивостей прямокутних трикутників і застосування теореми Піфагора є важливими для розв’язання більш складних задач в геометрії. Вони стають основою для подальшого вивчення математики та її практичного застосування в різних сферах.