Квадратні рівняння є невід’ємною частиною алгебри та важливими для розуміння багатьох областей математики. Одним із ключових аспектів квадратних рівнянь є знання про їхні корені. У цьому статті ми розглянемо, як знаходиться сума коренів зведеного квадратного рівняння та чому вона дорівнює певному значенню.
Визначення квадратного рівняння
Зведене квадратне рівняння можна записати у стандартній формі:
[ x^2 + bx + c = 0 ]
де:
- ( x ) — змінна,
- ( b ) і ( c ) — коефіцієнти, які можуть бути будь-якими дійсними числами.
Корені квадратного рівняння
Корені квадратного рівняння можна обчислити за допомогою формули квадратного кореня:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} ]
В нашому випадку, оскільки ми маємо зведене квадратне рівняння (тобто ( a = 1 )), формула спрощується до:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4c}}{2} ]
Сума коренів квадратного рівняння
Сума коренів квадратного рівняння завжди може бути визначена через його коефіцієнти. Вона дорівнює:
[ S = x_1 + x_2 ]
Формула суми коренів
Згідно з теоремою Вієта для квадратних рівнянь, сума коренів може бути виражена через коефіцієнти рівняння. Для нашого зведеного квадратного рівняння:
[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ]
У нашому випадку ( a = 1 ), тому:
[ S = -b ]
Приклади
Розглянемо декілька прикладів, щоб зрозуміти, як працює ця формула.
-
Приклад 1:
Рівняння: ( x^2 – 4x + 3 = 0 )
Коефіцієнти:
- ( b = -4 )
- ( c = 3 )
Сума коренів:
[ S = -b = -(-4) = 4 ]
Обчислимо корені за формулою:
[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} ]
Отже, ( x_1 = 3 ) та ( x_2 = 1 ).
Дійсно, сума коренів: ( 3 + 1 = 4 ).
-
Приклад 2:
Рівняння: ( x^2 + 2x + 5 = 0 )
Коефіцієнти:
- ( b = 2 )
- ( c = 5 )
Сума коренів:
[ S = -b = -2 ]
Обчислимо корені:
[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} ]
Це призводить до комплексних коренів:
[ x_1 = -1 + 2i, \quad x_2 = -1 – 2i ]
Сума коренів знову підтверджує наш результат:
[ (-1 + 2i) + (-1 – 2i) = -2 ]
Чому сума коренів дорівнює (-b)?
Це твердження може бути доведене з використанням теорії множин та властивостей квадратних рівнянь. Давайте розглянемо ці аспекти.
Як формується квадратне рівняння
Квадратне рівняння з коренями ( x_1 ) та ( x_2 ) може бути записане у вигляді:
[ a(x – x_1)(x – x_2) = 0 ]
Розкриваючи дужки, отримуємо:
[ a (x^2 – (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 ]
Отже, якщо порівняти з формою ( ax^2 + bx + c = 0 ), можемо визначити:
- ( -b = a(x_1 + x_2) )
- ( c = ax_1x_2 )
Оскільки ( a = 1 ) у нашому випадку, ми одержуємо:
[
-x_1 – x_2 = b \quad \Rightarrow \quad x_1 + x_2 = -b
]
Значення формули в контексті
Ця формула надзвичайно корисна в багатьох математичних і практичних контекстах. Наприклад:
- Вона може використовуватися для швидкого визначення коренів без їх точного обчислення.
- У теорії графів, аналіз поліномів та систем вирівняння.
- У фізичних задачах, де ми моделюємо зміни, може стати в нагоді для розрахунків.
Висновки щодо суми коренів
Знаючи, що сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює (-b), можна швидко і ефективно виконувати обчислення та робити різноманітні аналізи.
Що далі?
На базі цих знань ви можете продовжити вивчення властивостей квадратних рівнянь і їхніх коренів, в тому числі:
- Вивчення дискримінанта та його впливу на корені.
- Дослідження повної формули квадратних рівнянь.
- Визначення значень, які можуть бути досягнуті для різних коефіцієнтів.
Крім того, ви можете звернути увагу на розширення поняття вищих степенів і розвитку алгебраїчних структур, які репрезентують квантові системи, економічні моделі та багато іншого.
