Як знайти площу трикутника за 3 сторонами: прості формули та приклади розрахунків

Знаходження площі трикутника за довжинами його сторін є важливим аспектом геометрії. Це необхідно не лише для навчання в школі, а й у практичному житті, наприклад, у архітектурі чи будівництві. У цій статті ми розглянемо формулу Герона, яка є основним методом для обчислення площі трикутника, відомого за довжинами всіх трьох сторін.

Формула Герона

Формула Герона дозволяє знаходити площу трикутника, знаючи його сторони. Нехай (a), (b) і (c) – довжини сторін трикутника. Площа (S) може бути обчислена за формулою:

[ S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} ]

де (s) – півпериметр трикутника, який визначається наступним чином:

[ s = \frac{a + b + c}{2} ]

Кроки до обчислення площі

1. Обчисліть півпериметр:
   [
   s = \frac{a + b + c}{2}
   ]

2. Використайте формулу Герона для обчислення площі:
   [
   S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}
   ]

Приклад 1

Припустимо, ми маємо трикутник зі сторонами (a = 5), (b = 6), (c = 7).

1. Знайдемо півпериметр:
   [
   s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9
   ]

2. Обчислимо площу за формулою Герона:
   [
   S = \sqrt{9(9 – 5)(9 – 6)(9 – 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}
   ]
   [
   S \approx 14.7 \text{ квадратних одиниць}
   ]

Приклад 2

Розглянемо трикутник зі сторонами (a = 8), (b = 15), (c = 17).

1. Обчислимо півпериметр:
   [
   s = \frac{8 + 15 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20
   ]

2. Знайдемо площу:
   [
   S = \sqrt{20(20 – 8)(20 – 15)(20 – 17)} = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3600} = 60 \text{ квадратних одиниць}
   ]

Властивості трикутників

Класифікація трикутників

Трикутники можуть бути класифіковані за різними ознаками:

• За стороною:

  • Рівнобедрений трикутник (дві сторони рівні)
  • Різносторонній трикутник (всі сторони різні)
  • Рівносторонній трикутник (всі сторони рівні)

• За кутами:
  • Гострокутний трикутник (всі кути менші 90 градусів)
  • Прямокутний трикутник (один кут 90 градусів)
  • Тупокутний трикутник (один кут більший 90 градусів)

Вимоги до сторін трикутника

Для того, щоб трикутник існував, довжини його сторін повинні задовольняти умові:

[ a + b > c ]
[ a + c > b ]
[ b + c > a ]

Це правило забезпечує, що сума довжин будь-яких двох сторін буде завжди більшою за довжину третьої сторони.

Використання формули Герона в практиці

Архітектура та будівництво

В архитекто́рному дизайні часто потрібно обчислити площу земельної ділянки у формі трикутника, щоб визначити необхідність використання матеріалів або оцінити будівельні витрати.

Математичні та інженерні розрахунки

Формула Герона також використовується в математичних та інженерних розрахунках, де важливо точно знати площу трикутників для подальшого моделювання чи аналізу.

Геодезія

Геодезисти часто використовують обчислення площи трикутників для створення карт, розподілу територій або планування земельних ділянок.

Альтернативні методи для обчислення площі трикутника

Формула з висотою

Існує інший спосіб обчислення площі трикутника, якщо відома висота (h) до сторони (a):

[ S = \frac{1}{2} \times a \times h ]

Цей метод є корисним, коли сторона трикутника та відповідна висота відомі.

Піфагорій та тригонометрія

Для прямокутних трикутників можна використовувати формулу:

[ S = \frac{1}{2} \times a \times b ]

де (a) і (b) – довжини катетів. Цей випадок є особливим і часто використовується у архітектурі.

Для довільного трикутника також можна використовувати півфункцію кута для обчислення площі:

[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) ]

де (C) – кут між сторонами (a) і (b).

Приклад 3

Розглянемо трикутник зі сторонами (a = 5), (b = 6) і кутом (C = 60^\circ):

1. Знайдемо площу:
   [
   S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \approx 12.99 \text{ квадратних одиниць}
   ]

Висновок

У цій статті ми розглянули формулу Герона, способи обчислення площі трикутника за його сторонами, а також інші методи, такі як використання висоти та тригонометрії. Знання цих методів корисне у різних сферах – від навчання до практичних застосувань. Тепер ви ознайомлені з основними принципами, які дозволяють легко і швидко знаходити площу трикутників у різних ситуаціях.